Exámenes justos, la ruleta de Las Vegas y otros grandes éxitos de la Probabilidad (Parte 1)
Hace poco escribía una entrada sobre las posibilidades que teníamos de ganar en diferentes juegos de azar. En ella, utilizaba cálculo combinatorio para sacar las probabilidades de las diferentes posibilidades que tenemos en juegos como La Primitiva o La Bonoloto. Además llegaba a una conclusión válida para cualquier juego de azar: allá tú con tu dinero, pero me cae antes a mí un meteorito que a ti el Euromillón.
La Probabilidad rige muchos aspectos de nuestro día a día, aunque quizás mucha gente no sea capaz de ver que está detrás de casos como: La calificación de exámenes tipo test, modelos de la Física de gases, la ruleta en los casinos o tu próxima mano en una timba de póker. Por ello, voy a redactar una serie de artículos centrados en el cálculo de probabilidades. Estos artículos requieren un cierto nivel de conocimiento matemático, pero prometo hacerlos lo más abstractos posibles. Aún así, si crees que te vas a aburrir, deja esta serie en este punto, la vida es corta para perder el tiempo en algo que no nos llena; si por el contrario, te motiva entender la combinatoria, la probabilidad y sus aplicaciones, te animo a que sigas leyendo.
¿Por qué una respuesta mal en un test me debe restar?
Imaginaros que solo he podido estudiar 8 de los 10 capítulos que entran en un examen. La probabilidad entonces de que conozca la respuesta a una pregunta en ese examen sería un 80%. Si solo he podido estudiar 5 temas, la probabilidad de conozca la respuesta será 50%. Más genéricamente, sea p la probabilidad de que un estudiante conozca la respuesta.
Por otro lado, si el examen test consta de 4 posibles respuestas a cada pregunta, mi probabilidad de acertar una pregunta al azar será 1/4=0.25, es decir, del 25%. Si en vez de 4 opciones, hubiese 5, mi probabilidad sería del 20%. Definamos r como el número de opciones de respuesta que se muestran para cada pregunta del examen, entonces 1/r es la probabilidad de acertar una pregunta al azar.
Por tanto, la probabilidad de acertar cada pregunta del examen es la suma de o bien conocer la respuesta con probabilidad p o bien jugársela al azar y acertar con probabilidad 1/r el resto de las veces (100%-p):
P(Acertar)=p +(1-p)*1/r
Como un breve repaso del cálculo de probabilidades, cuando quiero calcular la probabilidad de un hecho A condicionado a que ha sucedido anteriormente otro hecho B lo represento como P(A|B) y Bayes nos asegura además que:
Por tanto, si el estudiante ha acertado la respuesta al examen queremos conocer la probabilidad de que realmente conociese la respuesta condicionado a que la ha acertado (y que no haya sido fruto del azar):
y sustituyendo las probabilidades por sus valores calculados anteriormente:
pues claramente la probabilidad de acertar cuando se conoce la respuesta es del 100%.
El corrector tratará de estimar el nivel de conocimientos del alumno, p, a través de su número de aciertos a al total de preguntas realizadas n. Si n es grande, la proporción de aciertos a/n debe coincidir aproximadamente con la probabilidad de acertar, que era P(A). Igualando ambos términos se obtiene:
p+(1-p)/r = a/n
de donde:
Si se puntúa sobre 10, la nota será 10p: Por ejemplo, con una probabilidad de 0,8 (80%) de que el alumno conozca la materia, su nota será un 8. Si se puntúa sobre n, la nota será np y por tanto multiplicando por n la expresión anterior quedará de la forma:
Por tanto vemos que es necesario restarle a la puntuación los errores para asegurarnos que el estudiante obtiene la nota que se merece; y además, con esta expresión podemos calcular el valor justo que nos deben quitar por cada fallo.
Tengo un método ganador para la ruleta, ¿me la juego?
Por si acaso no vas a seguir leyendo, te dejo claro que la respuesta es NO, no te la juegues, salvo que puedas usar algún mecanismo de atracción magnética que altere el azar de la ruleta y lleve la bolita a un número específico. Todo lo demás hace que a la larga pierdas dinero.
Para demostrártelo, aquí entran en juego tres nociones del cálculo de probabilidades: la regla de Laplace, la esperanza matemática y la ley de los grandes números.
En el juego de la ruleta se escoge al azar (con una bolita) un número entre 1 y 36 y los jugadores pueden apostar sobre 18, 12, 9, 6, 4, 3, 2 o 1 sólo número.
Por tanto, la probabilidad de que salga cada uno de los 36 valores es 1/36 (Laplace). Si apostamos sobre k números, tenemos una probabilidad de acertar de k/36, y recibir así el premio x del casino. O bien, con probabilidad 1-k/36 podemos fallar y perder el valor a de la apuesta hecha. Así, el valor esperado para cada jugador es (esperanza matemática):
Valor esperado de ganancia= (k/36)x + (1-k/36)(-a)
Para que el juego sea justo, unas veces tiene que ganar el casino y otras veces el jugador. Por ello, el valor esperado de ganancia a la larga debería ser 0. Si igualamos la expresión anterior a 0, observamos que:
x=(36/k -1)a
De hecho, los casinos pagan 35 veces la apuesta a un número, 17 veces la cuantía a dos números, 11 veces la apuesta a tres números, etc
Hasta aquí entonces podríamos asumir que la ruleta es un juego en el que nos enfrentamos todos con las mismas oportunidades. El truco viene cuando el casino mete el 0 en la ruleta, sobre el que no podemos apostar y reduce nuestra probabilidad de ganar a k/37. Recalculando el valor esperado de ganancia con estas condiciones y sabiendo que pese a ese 0, el casino sigue pagando x=(36/k -1)a, entonces tenemos:
Valor esperado de ganancia = k/37(36/k -1)a + (1-k/37)(-a)=-a/37
Por tanto, el valor esperado de ganancia a la larga es, de media, -1/37 de su apuesta en cada partida. A la larga, con muchas partidas, el juego es una ruina para el jugador y una ganga para el casino (ley de los grandes números). Esto es lo que se conoce en Teoría de Juegos como un juego desfavorable. Entrando quizás en teoría algo más avanzada para demostrarlo, para el que le pique la curiosidad:
Si X es una variable aleatoria que sigue una distribución binomial B(n,p) y que representa el total de veces que se presenta un suceso durante las n primeras repeticiones (partidas en el caso de la ruleta), entonces X/n es la frecuencia con la que ha ocurrido el suceso hasta ese momento. Es decir, esta frecuencia es un promedio estadístico calculado como los beneficios obtenidos dividido entre el número de partidas. En cambio, la esperanza matemática mu, es un promedio probabilístico relativo a una única partida del juego: se pondera con la probabilidad de los sucesos. La ley de los grandes números de Tchebychev:
nos dice que tras muchas repeticiones (partidas) el beneficio medio por partida X/n se va a parecer a mu cuando el número de partidas es elevado, por pequeño que sea el valor establecido para el error e. Por eso, nadie debe confiar en su buena suerte, porque a la larga el beneficio por partida será de -1/37 de la cantidad apostada cada vez a pesar de la “buena suerte” que haya tenido en las partidas iniciales.
Menos mal que los hermanos Muñoz no se metieron con cálculo de probabilidades o nos hubiéramos quedado sin un temazo como éste:
Bibliografía:
Cálculo de Probabilidades. R. Vélez Ibarrola y V. Hernández Morales. Departamento de Estadística, Investigación Operativa y Cálculo numérico. Universidad Nacional Educación a Distancia .Madrid, 1995
